10991. Регион

Три окружности с радиусами r₁, r₂ и r₃ попарно касаются друг друга. Найти площадь области G, которая находится между окружностями.

Вход. Первая строка содержит количество тестов. Каждый тест состоит из одной строки, содержащей радиусы окружностей r₁, r₂ и r₃.

Выход. Для каждого теста вывести площадь области между окружностями G, округленной до шести знаков после десятичной точки.

Пример входа

2

5.70 1.00 7.89

478.61 759.84 28.36

Пример выхода

1.2243

2361.0058

РЕШЕНИЕ

геометрия

Анализ алгоритма

Пусть O₁, O₂, O₃ – центры окружностей. Построим треугольник O₁O₂O₃.

Площадь области G найдем как разность площади треугольника O₁O₂O₃ и трех секторов с радиусами r₁, r₂ , r₃. Площадь треугольника O₁O₂O₃ находим по формуле Герона (полупериметр p равен сумме радиусов окружностей r₁ + r₂ + r₃):

S = =

Площадь сектора находится по углу a и радиусу r по формуле

S = ra

Углы треугольника O₁O₂O₃ находятся по теореме косинусов. Если a – угол, лежащий против стороны длины r₂ + r₃, то

(r₂ + r₃)² = (r₁ + r₃)² + (r₁ + r₂)² – 2(r₁ + r₃) (r₁ + r₂) cos a

Откуда находится угол a.

Реализация алгоритма

Функция geron вычисляет площадь треугольника O₁O₂O₃.

double geron(double r1,double r2,double r3)

{

double result;

result = (r1 + r2 + r3) * r1 * r2 * r3;

return sqrt(result);

}

Функция angle вычисляет угол треугольника O₁O₂O₃, лежащий против стороны длины r₂ + r₃. Угол находится из теоремы косинусов.

double angle(double r1,double r2,double r3)

{

double a = ((r1+r3) * (r1+r3) + (r1+r2) * (r1+r2) - (r2+r3) * (r2+r3)) /

(2 * (r1+r3) * (r1+r2));

return acos(a);

}

Функция squaresector вычисляет площадь сектора с радиусом r и углом a.

double squaresector(double r, double a)

{

return r * r * a / 2;

}

Искомая площадь области G находится как разность площади треугольника O₁O₂O₃ и трех секторов с радиусами r₁, r₂ , r₃.

double square(void)

{

double res = geron(r1,r2,r3);

res -= squaresector(r1,angle(r1,r2,r3));

res -= squaresector(r2,angle(r2,r1,r3));

res -= squaresector(r3,angle(r3,r1,r2));

return res;

}

Основной цикл программы. Читаем значения радиусов трех окружностей, вычисляем и печатаем искомую площадь.

scanf("%d",&tests);

while(tests--)

{

scanf("%lf %lf %lf", &r1, &r2, &r3);

printf("%.6lf\n",square());

}